Operação com Vetores
Adição de Vetores:
Considere os vetores u ⃗ e v ⃗ , indicados a seguir:
Considere um ponto qualquer E e com origem nele, tracemos um vetor w ⃗ equipolente ao vetor ao vetor u ⃗ . Com origem em F, tracemos o vetor a ⃗ equipolente ao vetor v ⃗ . O segmento orientado EG é o vetor soma de u ⃗ + v ⃗ . Ou seja, EG ⃗ = u ⃗ + v ⃗
Assim, o vetor soma u ⃗ + v ⃗ é obtido unindo-se a origem do vetor u ⃗ (primeiro vetor) à extremidade de v ⃗ (segundo vetor).
De modo geral, dados vários vetores v ⃗ 1, v ⃗ 2,… v ⃗ i, v ⃗ j , para determinar a soma v ⃗ 1 + v ⃗ 2 + …+ v ⃗ i ⃗+ v ⃗ j , escolhe-se um ponto arbitrário A e com origem neste ponto traça-se um vetor equivalente ao vetor v ⃗ 1 ; pela extremidade v ⃗ 1 traça-se um vetor equivalente ao vetor v ⃗ 2 , e assim sucessivamente, pela extremidade de v ⃗ i traça-se um vetor equivalente ao vetor v ⃗ j . Ligando-se a origem do vetor v ⃗ 1 (primeiro vetor) à extremidade de v ⃗ j (último vetor), obtém-se o vetor resultante ou vetor soma v ⃗ 1 + v ⃗ 2 ⃗+ …+ v ⃗ i ⃗+ v ⃗ j . Esta regra é denominada regra do polígono.
EXEMPLO: Dados os vetores u ⃗ , v ⃗ e w ⃗ , indicados, o vetor soma u ⃗ + v ⃗ + w ⃗ é como o indicado pela figura abaixo.
Sendo paralelos dois vetores u ⃗ e v ⃗ , o vetor soma u ⃗ + v ⃗ , quando u ⃗ e v ⃗ tem o mesmo sentido ou sentidos contrários, está representado nas figuras seguintes:
A)
B)
C)
Para dois vetores u ⃗ e v ⃗ não paralelos, a soma u ⃗ + v ⃗ pode ser obtida pela regra do paralelogramo, que consiste em escolher um ponto E e por este ponto traçar vetores equivalentes aos vetores u ⃗ e v ⃗ , onde u ⃗ = EF ⃗ e v ⃗ = EG ⃗ . Completando o paralelogramo EGHF, o segmento EH ⃗ , que é diagonal do paralelogramo é o vetor soma u ⃗ + v ⃗ , ou seja, EH ⃗ = u ⃗ + v ⃗ .
Multiplicação de Vetor por um Escalar:
Considere um vetor v ⃗ ≠ 0 e α ≠ 0 um número real ( α ∈ R ). Dá-se o nome do produto de um escalar α pelo vetor v ⃗ ao vetor α v ⃗ .
Observações:
1) Se α > 0, então α v ⃗ tem o mesmo sentido de v ⃗ e | α v ⃗ | = |α| | v ⃗ | = α | v ⃗ |
2) Se α < 0, então α v ⃗ tem sentido contrário ou vetor v ⃗ e | α v ⃗ | = |α| | v ⃗ | = - α | v ⃗ |
3) Se α = 0, então α v ⃗ = 0v ⃗ = 0 ⃗ (vetor nulo)
4) Se -1 < α < 1, então α v ⃗ é tal que | α v ⃗ | < | v ⃗ | , ou seja, o vetor v ⃗ sofre uma redução
5) Se α < -1, então α > 1, então α v ⃗ é tal que | α v ⃗ | > | v ⃗ | , ou seja, o vetor v ⃗ sofre um alongamento
Em qualquer situação, α v ⃗ é um vetor tal que:
(a) Direção: α v ⃗ é um vetor paralelo ao vetor v ⃗
(b) Módulo:
6)Se α = -1 ou α = 1, então | α v ⃗ | = | v ⃗ |
Assim, o vetor α v ⃗ é sempre paralelo a v ⃗ e, portanto, é múltiplo de v ⃗
Diferença Entre Vetores:
Considere dois vetores u ⃗ e v ⃗ , como indicados na figura abaixo:
Escolhendo-se um ponto arbitrário A e por ele traçando os vetores equivalentes AB ⃗ = u ⃗ e AC ⃗ = v ⃗ , obtém-se o triângulo ABC.
O segmento orientado BC ⃗ = v ⃗ - u ⃗ é o vetor diferença, pois u ⃗ + BC ⃗ = AC ⃗ = v ⃗ .
Assim, BC ⃗ = v ⃗ - u ⃗ .
Por outro lado, o segmento orientado CB ⃗ = u ⃗ - v ⃗ , pois AC ⃗ + CB ⃗ = AB ⃗ ou v ⃗ + CB ⃗ = u ⃗ ⇒ CB ⃗ = u ⃗ - v ⃗ .
Propriedade das Operações com vetores:
I Considere os vetores u ⃗ e v ⃗ e w ⃗
I.1 Associativa: ( u ⃗ + v ⃗ ) + w ⃗ = u ⃗ + ( v ⃗ + w ⃗ )
I.2 Comutativa: u ⃗ + v ⃗ = v ⃗ + u ⃗
I.3 Elemento neutro: 0 + u ⃗ = u ⃗ + 0 (o vetor nulo ( 0 ⃗ ) é o elemento neutro).
I.4 Elemento oposto: u ⃗ + (- u ⃗ ) = 0 (- u ⃗ é o elemento oposto de u ⃗ ).
II Considere dois vetores u ⃗ e v ⃗ e α e β números reais
II.1 (α β) v ⃗ = α(β v ⃗ ) = β(α v ⃗ ) (associativa em relação ao produto dos escalares α e β)
II.2 (α + β) v ⃗ = α v ⃗ + β v ⃗ (distributiva em relação à soma dos escalares α e β )
II.3 α( u ⃗ + v ⃗ ) = α u ⃗ + α v ⃗ (distributiva em relação à soma dos vetores)
II.4 1 u ⃗ = u ⃗ (elemento neutro da multiplicação por escalar)
II.5 0 u ⃗ = 0 (elemento nulo da multiplicação por escalar)