O Sistema Cartesiano Ortogonal
Dá-se o nome de Sistema Cartesiano Ortogonal ao conjunto formado por dois eixos ortogonais entre si, cuja interseção é o ponto zero (origem) mais o plano por eles definido. O Sistema Cartesiano Ortogonal é também conhecido por Sistema x0y, onde 0x é o eixo horizontal (eixo das abscissas) e o 0y é o eixo vertical (eixo das ordenadas).
Combinação Linear:
Dados dois vetores quaisquer do plano, u ⃗ 1 e u ⃗ 2, não paralelos, para todo o vetor v ⃗ pertencente ao mesmo plano sempre existirá os números reais a e b tais que v ⃗ = a u ⃗ 1 + b u ⃗ 2.
Neste caso, diz-se que v ⃗ é uma combinação linear dos vetores u ⃗ 1 e u ⃗ 2 e o conjunto β = { u ⃗ 1, u ⃗ 2} é denominado de base do plano. Os números reais a e b são chamados de componentes ou coordenadas do vetor v ⃗ na base β, fato este indicado por:
⌊ v ⃗ ⌋β = (a, b).
Na prática, as bases normalmente mais utilizadas são aquelas formadas por vetores unitários e ortogonais, denominadas de bases ortonormais. No Sistema Cartesiano x0y, os vetores ortogonais e unitários são indicados por i ⃗ e j ⃗ , sendo:
-
i ⃗ o vetor unitário do eixo dos x (eixo 0x)
-
j ⃗ o vetor unitário do eixo dos y (eixo 0y)
Ambos com origem em 0 (interseção dos eixos 0x e 0y)
O vetor i ⃗ tem extremidade no ponto ( 1, 0 ) e j ⃗ em ( 0, 1 ) e a base β = { i ⃗ , j ⃗ } é chamada de base cacônica.
Para qualquer vetor v ⃗ do R 2(plano x0y), existe um único par ordenado (x, y) tal que v ⃗ = x i ⃗ + y j ⃗ , sendo P(x, y) o ponto extremidade do vetor v ⃗ que tem a sua origem em 0 (origem do sistema cartesiano ortogonal). x e y são denominados de componentes (ou coordenadas) do vetor v ⃗ na base canônica β = { i ⃗ , j ⃗ }, onde x é a abscissa e y é a ordenada de v ⃗ e corresponde às coordenadas do ponto extremidade vetor v ⃗ .
O vetor v ⃗ = X i ⃗ + Y j ⃗ é também representado v ⃗ = OP ⃗ = X i ⃗ + Y j ⃗ , sendo 0 a origem dos eixos coordenados e P um ponto qualquer do plano x0y.
Igualdade de Vetores:
Dados dois vetores v ⃗ = ( x1, y1 ) e v ⃗ 2 = (x2, y2) , diz-se que v ⃗ 1 = v ⃗ 2 se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2.
Exemplo: Sejam v ⃗ 1 = ( x - 2, 4 ) e v ⃗ 2 = ( 3, y + 1 ).
v ⃗ 1 = v ⃗ 2 ⇒ x - 2 = 3 e 4 = y + 1 ∴ x = 5 e y = 3.
Operação com Vetores:
Considere os vetores u ⃗ = ( x1, y1 ) e v ⃗ 2 = ( x2, y2 ) e α ϵ R um escalar.
Adição: u ⃗ + v ⃗ = ( x1, y1 ) + ( x2, y2 ) = ( x1 + x2, y1 + y2 )
Multiplicação por Escalar: αu ⃗ = α( x1, y1 ) = ( αx1, αx1 )
Propriedades:
Para quaisquer vetores u ⃗ = (x1, y1 ) e v ⃗ = ( x2, y2 ) e w ⃗ = ( x3, y3 ), tem-se:
a) u ⃗ + v ⃗ = v ⃗ + u ⃗ , pois:
u ⃗ + v ⃗ = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = v ⃗ + u ⃗
b) u ⃗ + ( v ⃗ + w ⃗ ) = ( u ⃗ + v ⃗ ) + w ⃗ , pois:
u ⃗ + ( v ⃗ + w ⃗ ) = (x1, y1) + [(x2, y2) + (x3 + y3)] = (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3) = (x1 + x2, y1 + y2) + (x3, y3) = ( v ⃗ + u ⃗ ) + w ⃗
c) u ⃗ + 0 ⃗ = 0 ⃗ + u ⃗ , pois:
u ⃗ + 0 ⃗ = (x1, y1) + (0, 0) = (x1 + 0, y1 + 0) = (x1, y1) = u ⃗
d) u ⃗ + (- u ⃗ ) = 0 ⃗ , pois:
u ⃗ + ( -u ⃗ ) = (x1, y1) + (-x1, -y1) = (x1 - x1, y1 - y1) = (0, 0) = 0 ⃗