Noção Intuitiva

Inicialmente, para um perfeito entendimento do que é um vetor, deve-se considerar que na natureza existem dois tipos de grandezas: Escalares e Grandezas Vetoriais.

Grandezas Escalares:

     São aquelas que ficam perfeitamente definidas apenas por um número (módulo, intensidade ou quantidade) acompanhado de uma unidade de medida. Comprimento, massa, área, volume, temperatura, densidade são exemplos de grandezas escalares.

Exemplo: neste momento e neste local, a temperatura ambiente é de 28°C, onde 28 é o módulo ou intensidade da grandeza e °C (graus Celsius) é a unidade de medida adequada.

Grandezas Vetoriais:

     são aquelas que só ficam bem definidas quando se conhece, além do seu módulo (comprimento ou intensidade) com a unidade adequada, a sua direção e o seu sentido. Força, aceleração, velocidade são exemplos de grandezas vetoriais.

Exemplo: se uma força é aplicada em um corpo, certamente ela é aplicada com uma determinada intensidade (ou módulo) acompanhada de uma unidade, numa determinada direção e num determinado sentido.

     A ideia de direção é dada por uma reta. Reta paralelas têm sempre a mesma direção. Sendo assim, na figura abaixo, a reta (r₁) define uma direção diferente da direção definida pela reta (r₂). No entanto, a reta (r₃), por ser paralela a (r₁), tem a mesma direção dada por (r₁).

Segmento de Reta:

     Dados dois pontos distintos A e B de uma reta ( r ), dá-se o nome de segmento AB ao conjunto formado pelos pontos A e B e por todos os pontos C tais que C localiza-se entre A e B.

A medida do segmento AB, indicada por AB, é uma grandeza escalar.

Exemplo: AB = a cm.

Segmento Orientado de Reta:

     Definindo-se em um segmento AB de reta um sentido de percurso, considerado positivo, por exemplo, de A para B, passa-se a ter um segmento orientado de reta. Neste caso, tem-se uma grandeza vetorial, pois o segmento AB tem uma medida (módulo ou intensidade), indicada por AB, tem uma direção definida pela reta ( r ) que suporta o segmento AB e um sentido, que é dado pelo sentido de percurso e definido de A para B.

Notação:

     O segmento orientado de reta AB é indicado por AB ^⃗ , onde a seta indica o sentido de percurso, isto é, de A para B. A é a origem e B é a extremidade de AB ^⃗ .

     Vários segmentos orientados de mesmo comprimento (ou módulo), com a mesma direção e mesmo sentido são congruentes (ou equivalentes) e são representantes de um mesmo vetor.

     Assim, vetor, com um significado geométrico, é um segmento orientado e, portanto, é uma grandeza vetorial.

     AB é um segmento e, portanto, um vetor, que será denotado por v ^⃗ , AB ^⃗ ou B - A, ou seja:

v ^⃗ = AB ^⃗ = B - A indica o vetor de origem A e extremidade B.

NOTA: o vetor AA ^⃗ = 0 indica o vetor nulo (a origem coincide com a extremidade).

Módulo de um Vetor:

     O comprimento ou medida do segmento orientado ou vetor v ^⃗ = AB ^⃗ = B - A, denominado de módulo de vetor v ^⃗ , AB ^⃗ , é denotado por | v ^⃗ | = | AB ^⃗ |.

Assim:

Módulo do veto v ^⃗ = AB ^⃗ , é o tamanho ou comprimento do vetor.

Direção do veto v ^⃗ = AB ^⃗ , é dada pela reta que suporte o vetor.

Sentido do veto v ^⃗ = AB ^⃗ , é definido pela seta do segmento orientado AB ^⃗ , isto é, de A para B.

Em AB ^⃗ , o sentido de B para A. Vetores paralelos têm a mesma direção.

     Segmentos orientados paralelos a um segmento orientado AB ^⃗ , com os mesmos comprimentos, mesma direção e sentido são representantes de um mesmo vetor v ^⃗ .

     Desta forma, dado um vetor v ^⃗ = AB ^⃗ e um ponto P, existe um único Q tal que o segmento orientado PQ ^⃗ tem o mesmo módulo (comprimento), a mesma direção e o mesmo sentido de AB ^⃗ , ou seja, PQ ^⃗ = v ^⃗ = AB ^⃗ . Diz-se que o vetor PQ ^⃗ é equivalente (igual ou equipolente) ao vetor AB ^⃗ .

Casos Particulares de Vetores

Vetores Paralelos:

     Quando dois vetores u ^⃗ e v ^⃗ são paralelos, indica-se este fato por u ^⃗ // v ^⃗ e os seus representantes têm a mesma direção.

Vetores Iguais:

     Quando dois vetores u ^⃗ e v ^⃗ são iguais, indica-se u ^⃗ = v ^⃗ , quando têm o mesma módulo (comprimento ou intensidade), a mesma direção e o mesmo sentido.

     Se u ^⃗ e v ^⃗ têm o mesmo módulo, a mesma direção e sentidos contrários, diz-se que v ^⃗ = - u ^⃗ .

     Neste caso o vetor v ^⃗ = - u ^⃗ é o oposto de u ^⃗ .

● Vetor unitário

     Um vetor u ^⃗ é considerado unitário quando tem módulo (ou comprimento) igual a 1, ou seja | u ^⃗ | = 1. O módulo de um vetor u ^⃗ é indicado por |   |.

     Se | u ^⃗ | = 1, então u ^⃗ é vetor unitário.

     Para cada vetor v ^⃗ , v ^⃗ ≠ 0 ^⃗ , pode-se associar dois vetores unitários de mesma direção de v ^⃗ : um vetor u ^⃗ , com o mesmo sentido de v ^⃗ , e um vetor - u ^⃗ , de sentido contrário ao de v ^⃗ .

     O vetor unitário u ^⃗ que tem a mesma direção e sentido de v ^⃗ , é denominado de versor do vetor v ^⃗ , e é determinado dividindo-se o vetor v ^⃗ pelo seu módulo, isto é, versor de v ^⃗ = v ^⃗ / | v ^⃗ | .

     EXEMPLO: se v ^⃗ é tal que | v ^⃗ | = 6, então versor de v ^⃗ = u ^⃗ = v ^⃗ / 6 .

Vetores Ortogonais:

     Os vetores u ^⃗ e v ^⃗ são ortogonais, e indica-se por u ^⃗ ⊥ v ^⃗ , se o ângulo entre u ^⃗ e v ^⃗ (ou entre u ^⃗ e algum representante de v ^⃗ ) for ângulo reto (90°).

     O vetor nulo 0 ^⃗ é considerado ortogonal a qualquer vetor.

Vetores Colineares:

     Dois ou mais vetores são colineares quando pertencem a uma mesma reta.

     São colineares os vetores u ^⃗ , v ^⃗ e w ^⃗ .