Definição: Considere os vetores u ⃗ = x1i ⃗ + y1j ⃗ + z1k ⃗ e v ⃗ = x2i ⃗ + y2j ⃗ + z2k ⃗ pertencentes ao R3.
O produto vetorial entre os vetores u ⃗ e v ⃗ , nesta ordem, e que se indica por u ⃗ x v ⃗ , ao vetor:
Notação: u ⃗ x v ⃗ , lê-se: u ⃗ , ou "produto vetorial de u ⃗ por v ⃗ " u ⃗ x v ⃗ é também indicado por u ⃗ ˄ v ⃗ .
Do conhecimento sobre determinante e do Teorema de Laplace, conclui-se que:
Assim, ꞉ u ⃗ × v ⃗ , que é sempre um vetor, para simplicidade de notação, será representado por
Exemplo: Sejam u ⃗ = ( 2, -1, 0 ) e u ⃗ = ( 1, 2, -3 )
u ⃗ x v ⃗ = 3i ⃗ + 6j ⃗ + 5k ⃗ ou u ⃗ x v ⃗ = ( 3, 6, 5 ).
Propriedade do Produto vetorial:
Revendo as principais propriedades dos determinantes, imediatamente conclui-se que:
a) u ⃗ x v ⃗ = - v ⃗ x u ⃗ (permuta de duas filas paralelas)
b) u ⃗ x 0 = 0 ⃗ (determinante com uma fila nula)
c) u ⃗ x v ⃗ = 0 ⃗ ⇛ u ⃗ = v ⃗ ou u ⃗ e v ⃗ são paralelos (o determinante com duas filas paralelas iguais ou proporcionais é nulo)
d) u ⃗ x v ⃗ = 0 ⃗ (determinante com duas filas paralelas iguais é nulo)
e) u ⃗ x 3v ⃗ = 3( u ⃗ x v ⃗ ) = 3u ⃗ x v ⃗ .
De modo geral, toda e qualquer propriedade inerente a um determinante de terceira ordem, vale também par o produto vetorial u ⃗ x v ⃗ . assim, para quaisquer vetores u ⃗ , v ⃗ e w ⃗ e o escalar ou número real α, tem-se:
1) u ⃗ x ( v ⃗ + w ⃗ ) = ( u ⃗ x v ⃗ ) + ( u ⃗ x w ⃗ )
2) ( u ⃗ + v ⃗ ) x w ⃗ = ( u ⃗ x w ⃗ ) + ( u ⃗ x w ⃗ )
3) α( u ⃗ x v ⃗ ) = ( αu ⃗ ) x v ⃗ = u ⃗ x (αv ⃗ )
4) u ⃗ .( v ⃗ x w ⃗ ) = ( u ⃗ x v ⃗ ). w ⃗
Direção de u > x v > :
O produto vetorial u ⃗ x v ⃗ é um vetor simultaneamente ortogonal a u ⃗ e v ⃗ , pois:
a) α( u ⃗ x v ⃗ ). u ⃗ = 0.
Uma vez que, sendo u ⃗ = x1i ⃗ + y1j ⃗ + z1k ⃗ e
( u ⃗ x v ⃗ ). u ⃗ = x1y1z2 - x1y2z1 - x1y1z2 + x2y1z1 + x1y2z1 - x2y1z1
Assim, ( u ⃗ x v ⃗ ). u ⃗ = 0
b) Analogicamente, ( u ⃗ x v ⃗ ). v ⃗ = 0
Logo, sendo π o plano determinado pelos vetores u ⃗ e v ⃗ , tem-se que u ⃗ x v ⃗ é ortogonal ao plano π, e é orientado conforme a figura abaixo, ou seja, para cima.
Seja β o ângulo formado entre u ⃗ x v ⃗ . Ao efetuar o produto vetorial u ⃗ x v ⃗ , se o ângulo β sofrer uma rotação no sentido anti-horário, então u ⃗ x v ⃗ é orientado para cima e v ⃗ x u ⃗ é orientado para baixo, isto é v ⃗ x u ⃗ = -( u ⃗ x v ⃗ ).
Para melhor aceitação do sentido u ⃗ x v ⃗ , vamos associar estes dois vetores a dois dos vetores unitários i ⃗ , j ⃗ e k ⃗ , Seja, por exemplo, u ⃗ = i ⃗ e v ⃗ = j ⃗ . Assim:
k ⃗ x j ⃗ = - i ⃗ e j ⃗ x i ⃗ = - k ⃗
Significado Geométrico do Módulo de u > x v > :
Considere o paralelogramo formado pelos vetores u ⃗ e v ⃗ , não nulos, cujo ângulo entre u ⃗ e v ⃗ é β.
A área do paralelogramo de base | u ⃗ | é dada por S = | u ⃗ |h, sendo h/| v ⃗ | = senβ.
Portanto, h = | v ⃗ |senβ e S = | u ⃗ || v ⃗ |senβ ⇛ S = | u ⃗ x v ⃗ | e cuja base é o vetor u ⃗ . Então, S = | u ⃗ x v ⃗ | = | u ⃗ |h ⇒ h = | u ⃗ x v ⃗ | / | u ⃗ |.
No caso, de um triângulo formado pelos vetores u ⃗ e v ⃗ , a área será dada por S = 1/2| u ⃗ x v ⃗ |, pois a área do triângulo é igual a metade da área do paralelogramo definido pelos vetores u ⃗ e v ⃗ .