Definição: Dados os vetores u ^⃗ = x₁i ^⃗ + y₁j ^⃗ + z₁k ^⃗ , v ^⃗ = x₂i ^⃗ + y₂j ^⃗ + z₂k ^⃗ e w ^⃗ = x₃i ^⃗ + y₃j ^⃗ + z₃k ^⃗ , define-se como produto misto dos vetores u ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ , nesta ordem, ao número real u ^⃗ .( v ^⃗ x w ^⃗ ), também indicado por ( u ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ ).

Propriedades do Produto Misto:

    Observando que o produto misto denotado por u ^⃗ .( v ^⃗ x w ^⃗ ) ou ( u ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ ) é um determinante, então suas propriedades são, na maioria, as mesmas propriedades inerentes aos determinantes. Portanto,

    a) ( u ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ ) muda de sinal se trocarmos de posição dois vetores, pois o determinante muda de sinal ao permutarmos duas filas ( no caso, duas linhas ) paralelas.

    ( w ^⃗ , v ^⃗ , u ^⃗ ) = -2 ( permuta do u ^⃗ com o w ^⃗ )

    ( v ^⃗ , w ^⃗ , u ^⃗ ) = 2 ( permuta do u ^⃗ com o v ^⃗ e com o w ^⃗ )

Nota:

        (I) Um número ímpar de permutas, significa trocar-se o sinal

        (II) Um número par de permutas, significa mater-se o sinal

        (III) u ^⃗ .( v ^⃗ x w ^⃗ ) = ( u ^⃗ x v ^⃗ ). w ^⃗ = ( u ^⃗ x w ^⃗ ). v ^⃗

        b) ( u ^⃗ + x ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ ) = ( u ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ ) + ( x ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ )

        c) ( u ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ + x ^⃗ ) = ( u ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ ) + ( u ^⃗ , v ^⃗ , x ^⃗ )

        d) α( u ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ ) = ( αu ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ ) = ( u ^⃗ , αv ^⃗ , w ^⃗ ) = ( u ^⃗ , v ^⃗ , αw ^⃗ )

        e) ( u ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ ) = 0, somente se pelo menos um dos vetores é nulo ou se os três vetores são coplanares

        f) Se u ^⃗ .( v ^⃗ x w ^⃗ ) = 0, então u ^⃗ ⊥ ( v ^⃗ x w ^⃗ ). Por outro lado, v ^⃗ x w ^⃗ , como já se sabe, é ortogonal a v ^⃗ e w ^⃗ ao mesmo tempo. Assim, v ^⃗ x w ^⃗ é ortogonal a u ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ simultaneamente e, portanto, u ^⃗ , v ^⃗ e w ^⃗ são vetores coplanares (pertencentes ao mesmo plano).

        g) Se dois vetores u ^⃗ , v ^⃗ e w ^⃗ forem paralelos, então o determinante formado por ( u ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ ) possuirá duas filas (linhas) paralelas iguais ou proporcionais e, portanto, é nulo, ou seja, ( u ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ ) = 0.

    Exemplo:

    Dados os vetores u ^⃗ = ( 2, 0, -3 ), v ^⃗ = ( -1, m, 1 ) e w ^⃗ = ( 2, -2, -1 ), determine o valor de m para que sejam coplanares os vetores u ^⃗ , v ^⃗ e w ^⃗ .

Significado Geométrico do Módulo do Produto Misto:

    Considere os vetores u ^⃗ , v ^⃗ e w ^⃗ , não coplanares, conforme indicação na figura abaixo, e o paralelepípedo formado pelos três vetores, cuja base é formada pelos vetores v ^⃗ e w ^⃗ .

    Suponha que β seja o ângulo formado pelos vetores u ^⃗ e v ^⃗ x w ^⃗ , sendo este último ( v ^⃗ x w ^⃗ ) ortogonal a v ^⃗ e w ^⃗ , simultaneamente. A altura h do paralelepípedo e o vetor v ^⃗ x w ^⃗ são paralelos, logo, h/| u ^⃗ | = cos⁡β, ou seja, h = | u ^⃗ | cos⁡β.

    O volume V do paralelepípedo é calculado por V = (área da base) x (altura) ∴

    V = | v ^⃗ x w ^⃗ |h ⇒ V = | v ^⃗ x w ^⃗ || u ^⃗ | cos⁡β = || v ^⃗ x w ^⃗ || u ^⃗ | cos⁡β| ⇛

    V = | u ^⃗ .( v ^⃗ x w ^⃗ )| ou então V = |( u ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ )|.

        Nota: lembre que u ^⃗ .( v ^⃗ x w ^⃗ ) = | u ^⃗ | | v ^⃗ x w ^⃗ | cos⁡β

Volume do Tetraedro:

    Todo paralelepípedo se decompõe em dois prismas triangulares iguais, com a mesma altura do paralelepípedo, sendo que cada prisma triangular, por sua vez, se decompõe em três pirâmides triangulares, cada qual com base e altura igual à do prisma triangular.

    Desta forma, o volume V_p do prisma triangular é dado por V_p = 1/2V, onde V é o volume do paralelepípedo. Chamado de V_t o volume do Tetraedro (Pirâmide Triangular), tem-se que:

    V_t = 1/3V_p = 1/3(1/2V) = 1/6V. Como |( u ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ )|, então V_t= 1/6|( u ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ )|.

    Exemplo: A(2, 0, -2), B(-1, 1, -2) e C(3, -2, 4) são vértices de um tetraedro de volume igual a 8. Determine o quarto vértice deste tetraedro, sabendo que ele pertence ao eixo das cotas (eixo dos z).

    Solução:

    Seja P o quarto vértice do tetraedro. Se P pertence ao eixo dos z, então P(0, 0, z) é o vértice procurado. Assim, temos os vetores:

     AP ^⃗ = P – A = (-2, 0, z + 2)     AB ^⃗ = B – A = (-3, 1, 0)     AC ^⃗ = C – A = (1, -2, 6)

    Usando a fórmula V_t = 1/6|( u ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ )|, teremos:

    Assim, P( 0, 0, 2 ) ou P( 0, 0, -6/5 )

Altura do Paralelepípedo (e do Tetraedro):

    Sendo o volume do paralelepípedo é calculado por V = |( u ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ )| = | v ^⃗ x w ^⃗ |h, então h = |( u ^⃗ , v ^⃗ , w ^⃗ )|/| v ^⃗ x w ^⃗ | , lembrando que a base do paralelepípedo (e também do tetraedro) é formada pelos vetores v ^⃗ e w ^⃗ .