Uma reta (r) fica bem definida quando se conhecem um de seus pontos A(xo,yo,zo) e um vetor não nulo v ⃗ = a. i ⃗ + b. j ⃗ + c. k ⃗ , paralelo à reta (r) e chamado de vetor diretor da reta considerada.
Assim, sejam A(xo,yo,zo) um ponto fixo pertencente à reta (r), v ⃗ = ( a, b, c ) o seu vetor diretor, ou seja, v ⃗ paralelo à reta (r), conforme a figura, e considere sobre (r) um ponto genérico P( x, y ,z ).
Nestas condições, pode-se afirmar corretamente que o vetor AP ⃗ , sobre (r), é paralelo ao vetor v ⃗ e, portanto, valendo a relação AP ⃗ = t. v ⃗ , com t ∈ R, isto é, AP ⃗ é múltiplo do vetor v ⃗ , onde t ∈ R é denominado de parâmetro.
AP ⃗ = t. v ⃗ é chamada de equação vetorial da reta (r)
Como AP ⃗ = P - A = ( x, y, z ) - ( xo, yo, zo ), então AP ⃗ = (x - xo, y - yo, z - zo )
Desta maneira, se AP ⃗ = t. v ⃗ , então, tem-se que ( x - xo, y - yo, z - zo ) = t.( a, b, c ).
Daí,
Estas equações I são chamadas de equações paramétricas da reta (r).
De I, conclui-se que (r): { x - xo/a = y - yo/b = z - zo/c II, denominadas de equações simétricas da reta (r).
Reta Definida Por Dois Pontos:
Uma reta definida pelos pontos A( xo, yo, zo ) e B( x1, y1, z1 ) significa a reta que contem estes pontos e tem como vetor diretor o vetor v ⃗ = AB ⃗ = B - A = ( x - xo, y - yo, z - zo ).
Exemplo:
Obtenha as equações simétricas da reta definida pelos pontos A(1, -2, -1) e B(-3, 1, 2).
Solução:
v ⃗ = AB ⃗ = B - A = ( -3, 1, 2 ) - ( 1, -2, -1 ) = ( -4, 3, 3 )
v ⃗ = ( -4, 3, 3 ) e AP ⃗ = ( x - 1, y + 2, z + 1 )
Equações Paramétricas de um Segmento de Reta:
Considere a rede (r) definida pelos pontos A( xo, yo, zo ) e B( x1, y1, z1 )
As equações paramétricas do segmento AB são as mesmas equações paramétricas da reta (r), porém, com 0 ≤ t ≤ x1 - xo/a, ou 0 ≤ t ≤ y1 - yo/b, ou 0 ≤ t ≤ z1 - zo/c
Assim,
Equações Reduzidas da Reta:
Sendo a reta (r) definida pelo ponto A(xo, yo, zo) e pelo seu vetor diretor v ⃗ = ( a, b, c ), vimos que suas equações simétricas são (r): { (x - xo)/a = (y - yo)/b = (z - zo)/c
Escrevendo t como função de uma das variáveis x, y ou z, como por exemplo:
t = (z - zo)/c, pode-se expressar as outras duas variáveis (x e y) como dependente (função) de z.
Estas últimas são as equações reduzidas na variável z da reta (r).
Exemplo: Obtenha as equações reduzidas na variável x da reta que passa pelos pontos A( 1, 0, -2 ) e B( -2, 1, 1 ).
Solução: v ⃗ = AB ⃗ = B - A = ( -3, 1, 3 )
AP ⃗ = P - A = ( x - 1, y - 0, z + 2 ) e AP ⃗ = t.v ⃗
Retas Paralelas aos Planos Coordenados:
Quando uma reta (r) é paralela a um dos planos coordenados xOy, xOz ou yOz (ou simplesmente xy, xz ou yz), o seu vetor diretor v ⃗ = ( a, b, c ) é paralelo ao correspondente plano, ou seja, v ⃗ pode ser considerado um vetor contido no plano coordenado e, desta forma, a sua componente correspondente à variável que não faz parte do plano coordenado é nula.
Se a reta (r) é paralela ao plano xOz, então v ⃗ é paralelo a xOz e a sua componente b (2ª componente) é nula, isto é, b = 0 e o vetor v ⃗ tem a forma v ⃗ = ( a, 0, c ).
Esta reta (r) é paralela ao plano coordenado xOz e v ⃗ = ( 3, 0, -2 ) pode ser considerado um de seus vetores diretores e está contido no plano xOz.
Retas Paralelas aos Eixos Coordenados:
Sendo a reta (r) paralela a um dos eixos coordenados, eixo das abscissas (eixo dos x), eixo das ordenadas (eixo dos y) ou eixo das cotas (eixo dos z), então o seu vetor diretor também é paralelo ao correspondente eixo e, desta forma, pode ser considerado um vetor contido no próprio eixo. Daí, conclui-se que o vetor v ⃗ = ( a, b, c ) tem duas das suas componentes nulas que são exatamente aquelas relativas às variáveis que não fazem parte do eixo considerado.
Se a reta (r) é paralela ao eixo das ordenadas (eixo dos y), então v ⃗ assume a forma v ⃗ = ( 0, b, 0 ) ou v ⃗ = b.j ⃗
Nota: quando a reta (r) é paralela a um dos eixos coordenados, o vetor v ⃗ mais adequado é o próprio vetor unitário do correspondente eixo.
Assim, se (r) é paralela ao eixo das abscissas (eixo dos x), então, v ⃗ = i ⃗ = ( 1, 0, 0 )
(r) // eixo das ordenadas ⟹ v ⃗ = j ⃗ = ( 0, 1, 0 )
(r) // eixo das costas ⟹ v ⃗ = k ⃗ = ( 0, 0, 1 )
Neste caso, v ⃗ = ( 0, 0, 5 ) e (r), portanto, é paralela ao eixo dos z.
Ângulo de Duas Retas:
Considere as retas (r1) e (r2), cujos vetores diretores são v ⃗ 1 = ( x1, y1, z1 ) e v ⃗ 2 = ( x2, y2, z2 ).
O menor ângulo formado pelas retas (r1) e (r2) é o mesmo ângulo existente entre os vetores v ⃗ 1 e v ⃗ 2, ou seja,
chamando de θ o ângulo formado por (r1) e (r2), então, cosθ = ( v ⃗ 1 . v ⃗ 2)/(| v ⃗ 1|.| v ⃗ 2|)
Exemplo: Calcule o ângulo formado pelas retas (r1): { (x - 1)/2 = y + 2 = (z + 3)/(-2) e
Solução: Neste exemplo, v ⃗ 1 = ( 2, 1, -2 ) e, para identificar v ⃗ 2, escrevemos a reta ( r2 ) através de suas equações simétricas, ou seja, ( r2 ): { x/1 = (y - 1)/(-2) = (z - 4)/3
Daí, v ⃗ 2 = ( 1, -2, 3 )
Logo, θ = arccos(-√14/7) (ângulo obtuso).
O menor ângulo (ângulo agudo) entre as retas ( r1 ) e ( r2 ) é θ = arccos(√14/7) (ângulo agudo).
Retas ortogonais:
Duas retas ( r1 ) e ( r2 ), com vetores diretores v ⃗ 1 e v ⃗ 2, respectivamente, são ditas ortogonais se, e somente se, v ⃗ 1 . v ⃗ 2 = 0
Duas retas ortogonais ( r1 ) e ( r2 ) podem ser concorrentes ou não. Se forem concorrentes, então, são chamadas de retas perpendiculares.
Na figura, ( r1 ) e ( r2 ) são ortogonais à reta (t), mas somente ( r1 ) é perpendicular a (t), pois são concorrentes.
Reta ortogonal a Duas Outras Retas:
Uma reta (t), com direção v ⃗ , é ortogonal a duas outras retas não paralelas (r1) e (r2), com direções v ⃗ 1 e v ⃗ 2, respectivamente, se o vetor v ⃗ é tal que:
Interseção de Duas Retas:
Considere as retas (r1) e (r2), cujas direções são dadas pelos vetores v ⃗ 1 e v ⃗ 2, respectivamente. Se existir um único ponto I(xo,yo,zo) comum às duas retas, então, diz-se que elas são concorrentes.
Observações:
No caso de existir mais de um ponto comum (infinitos pontos comuns) às duas restas (r1) e (r2), então, diz-se que elas são coincidentes e, neste caso, v ⃗ 1 // v ⃗ 2 ( v ⃗ 1 e v ⃗ 2 são paralelos).
Por outro lado, se não existir ponto comum entre as duas retas (r1) e (r2), então, elas são paralelas, se os seus vetores diretores v ⃗ 1 e v ⃗ 2 são paralelos ( v ⃗ 1 // v ⃗ 2), ou retas reversas, se os seus vetores v ⃗ 1 e v ⃗ 2 não são paralelos.
Exemplo: Verifique se as retas (r1) e (r2) são concorrentes e, no caso afirmativo, determine o ponto de interseção entre elas, sendo:
Solução: A reta (r1), dada pelas suas equações simétricas, é (r1r): { x/1 = (y + 3)/2 = (z - 2)/(-1). Nesta equação, v ⃗ 1 = ( 1, 2, -1 ).
Já a reta (r2 ), através de suas equações simétricas, dada por (r2): { (x - 2)/(-2) = (y - 3/2)/1 = (z + 1)/(-2), v ⃗ 2 = ( -2, 1, -2 ).
Verifica-se que, v ⃗ 1 e v ⃗ 2 não são paralelos, pois 1/(-2) ≠ 2/1 ≠ (-1)/(-2)
Pode-se concluir que, (r1) e (r2) não são retas paralelas e nem coincidentes.
|1| em |2| ⟹ -3 + 2(2 - 2h) = 3/2 + h ∴ -3 + 4 - 4h = 3/2 + h ⟹ 1 - 3/2 = 5h ∴ 5h = -1/2 ⟹ h = -1/10
|1| em |3| ⟹ 2 - (2 - 2h) = -1 - 2h ∴ 2 - 2 + 2h = -1 - 2h ⟹ 4h = -1 ∴ h = -1/4
Ao fazer a interseção, encontramos dois valores para h
h = -1/10 e h = -1/4, isto significa que não existe ponto de interseção entre as retas (r1) e (r2), logo (r1) e (r2) são ditas retas reversas.