Conhecendo-se A(x_o, y_o, z_o ) um ponto fixo pertencente a um plano (π), n ^⃗ =( a, b, c ) um vetor normal (ortogonal) a este plano e P(x, y, z) um ponto variável deste mesmo plano (π), então, se n ^⃗ é ortogonal ao plano (π) , é ortogonal a todo e qualquer vetor pertencente ao plano(π).

    Tomando o vetor AP ^⃗ = P - A = ( x, y, z ) - ( x_o, y_o, z_o ) = ( x - x_o, y - y_o, z - z_o ) sobre o plano (π), então n ^⃗ = a.i ^⃗ + b.j ^⃗ + c.k ^⃗ é ortogonal ao vetor AP ^⃗ = ( x - x_o, y - y_o, z - z_o ) e, portanto, n ^⃗ . AP ^⃗ = 0, ou seja,

    ( a, b, c ).( x - x_o, y - y_o, z - z_o ) = 0 ⟹ a( x - x_o ) + b( y - y_o ) + c( z - z_o ) = 0 ⟹ ax + by + cz - ( ax_o + by_o + cz_o ) = 0.

    Fazendo - ( ax_o + by_o + cz_o ) = d (constante), obtemos ax + by + cz + d = 0, denominada de equação geral do plano (π), o qual será indicado por (π): ax + by + cz + d = 0

    Se um plano (π) é paralelo a outro plano (π₁), então o vetor n ^⃗ = ( a, b, c ), ortogonal a (π), é também ortogonal a (π₁ ).

Equação Vetorial e Equações Paramétricas do Plano:

    Sejam A( x_o, y_o, z_o ) um ponto fixo pertencente ao plano (π), u ^⃗ =( a₁, b₁, c₁ ) e v ^⃗ = ( a₂, b₂, c₂ ) dois vetores paralelos(ou contidos) ao plano (π) , porem não paralelos entre si

    Sendo P( x, y, z ) um ponto genérico do plano (π), então AP ^⃗ pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores u ^⃗ e v ^⃗ , isto é, AP ^⃗ = t.u ^⃗ + h.v ^⃗ , ou ainda, P - A = t.u ^⃗ + h.v ^⃗ . Esta é a equação vetorial do plano (π), a qual, em coordenadas, assume a forma:

    ( x, y, z ) - ( x_o, y_o, z_o ) = t.( a₁, b₁, c₁ ) + h.( a₂, b₂, c₂ ) ⟹

    ( x, y, z ) = ( x_o, y_o, z_o ) + t.( a₁, b₁, c₁ ) + h.( a₂, b₂, c₂ ), onde t, h ∈ R são os parâmetros. Daí, pela condição de igualdade, temos:

    Estas são as equações paramétricas do plano (π), onde t ,h ∈ R são os parâmetros.

     Exemplo: Obtenha a equação geral e as equações paramétricas do plano que contem os pontos A( 1, -2, 3 ), B( -2, 1, -1 ) e C( 2, 0, -2 )

     Solução:       n ^⃗ = AB ^⃗ x AC ^⃗

    Seja (π) o plano procurado, contendo os pontos A, B e C. Considere os vetores:

u ^⃗ = AB ^⃗ = B - A = ( -2, 1, -1 ) - ( 1, -2, 3 ) = ( -3, 3, -4 ),

v ^⃗ = Ac ^⃗ = C - A = ( 2, 0, -2 ) - ( 1, -2, 3 ) = ( 1, 2, -5 ),

    Sendo P( x, y, z ) um ponto genérico do plano (π), temos que AP ^⃗ = P - A = ( x - 1, y + 2, z - 3 )

    O vetor n ^⃗ , ortogonal a (π), é obtido fazendo n ^⃗ = u ^⃗ x v ^⃗ , isto é, n ^⃗ = AB ^⃗ x AC ^⃗ . Como n ^⃗ é ortogonal a (π), então, é também ortogonal a AP ^⃗ e, daí, n ^⃗ . AP ^⃗ = 0, ou ( AB ^⃗ x AC ^⃗ ). AP ^⃗ = 0, ou ainda, AP ^⃗ .( AB ^⃗ x AC ^⃗ ) = 0. Mas, isto é o produto misto entre os vetores AP ^⃗ , AB ^⃗ e AC ^⃗ , que também pode ser indicado por ( AP ^⃗ , AB ^⃗ , AC ^⃗ ) = 0

( x - 1 ).( -15 + 8 ) + ( y + 2 ).( -4 -15 ) + ( z - 3 ).( -6 -3 ) = 0 ⟹

( x - 1 ).( -7 ) + ( y + 2 ).( -19 ) + ( z - 3 ).( -9 ) = 0 ⟹

-7x - 19y - 9z + 7 - 38 + 27 = 0 ∴ 7x + 19y + 9z + 4 = 0

-7x - 19y - 9z + 7 - 38 + 27 = 0 ∴ 7x + 19y + 9z + 4 = 0

    Esta é a equação geral do plano (π)

P - A = t.AB ^⃗ + h.AC ^⃗ ∴ P = A + t.AB ^⃗ + h.AC ^⃗ ⟹

( x, y, z ) = ( 1, -2, 3 ) + t.( -3, 3, -4 ) + h.( 1, 2, -5 ) ⟹

Estas são as equações paramétricas do plano (π)

Casos Particulares da Equação Geral do Plano:

    Vimos que (π): ax + by + cz + d = 0 é a equação geral do plano.

        1) Se d = 0, então (π): ax + by + cz = 0 representa um plano passando pela origem O(0, 0, 0)

        2) Se a = 0, então (π): by + cz + d = 0 e n ^⃗ = ( 0, b, c )

    Neste caso, n ^⃗ = ( 0, b, c ) é um vetor contido no plano y0z e, portanto, (π) é um plano paralelo ao eixo dos x (eixo das abscissas)

        3) Se b = 0, então (π): ax + cz + d = 0 e n ^⃗ = ( a, 0, c ) é um vetor contido no plano x0z e, portanto, (π) é um plano paralelo ao eixo das ordenadas (eixo dos y)

        4) Se c = 0, então (π): ax + by + d = 0 e n ^⃗ = ( a, b, 0 ) é um vetor contido no plano x0y e, portanto, (π) é um plano paralelo ao eixo das cotas (eixo dos z)

    Desta forma, quando uma das componentes do vetor n ^⃗ for nula, o plano (π) é paralelo ao eixo da variável ausente na equação do plano.

    Quando duas variáveis estão ausentes na equação do plano (π), significa que esse plano é paralelo ao plano coordenado formado pelas variáveis ausentes na equação considerada.

    Exemplo 1: (π): 3x - 2z + 4 = 0 representa um plano paralelo ao eixo dos y (eixo das ordenadas), pois y é a variável ausente na equação do plano) e n ^⃗ = ( 3, 0, -2 ).

    Exemplo 2: Considere o plano (π)·: 3y + 4 = 0. Neste caso, n ^⃗ = ( 0, 3, 0 ) e as variáveis ausentes na equação considerada são x e z. Logo, (π) é paralelo ao plano coordenado x0z e n ^⃗ = ( 0, 3, 0 ) está contido no eixo dos y (eixo das ordenadas).

Ângulo de Dois Planos:

    Considere os planos (π₁) e (π₂) com os seus vetores normais n ^⃗ ₁ = ( a₁, b₁, c₁ ) e n ^⃗ ₂ = ( a₂, b₂, c₂ ), respectivamente. O ângulo formado pelos planos (π₁) e (π₂) é o menor ângulo (ângulo agudo) definido pelos vetores normais n ^⃗ ₁ e n ^⃗ ₂

    Assim, se θ é o ângulo formado pelos vetores n ^⃗ ₁ e n ^⃗ ₂, então cosθ = n ^⃗ ₁ . n ^⃗ ₂ / | n ^⃗ ₁|.| n ^⃗ ₂|,

    com 0 ≤ θ ≤ π/2 e θ é também o ângulo definido pelos planos (π₁) e (π₂)

Planos Perpendiculares:

    Quando (π₁) e (π₂) são dois planos perpendiculares entre si, então n ^⃗ ₁ e n ^⃗ ₂, os vetores ortogonais a esses planos, respectivamente, também são ortogonais entre si. Assim, (π₁) ⊥ (π 2) ⟺ n ^⃗ ₁ ⊥ n ^⃗ ₂⟺ n ^⃗ ₁. n ^⃗ ₂ = 0

Paralelismo e Perpendicularismo Entre Reta e Plano:

    Seja uma reta (r), cujo vetor diretor é v ^⃗ , e um plano (π), cujo vetor normal é n ^⃗

    1) Se (r) // (π), então v ^⃗ ⊥ n ^⃗ e v ^⃗ . n ^⃗ = 0

    2) Se (r) ⊥ (π), então v ^⃗ // n ^⃗ e v ^⃗ = α.n ^⃗ , com α ϵ R

Reta Contida Em Um Plano:

    Quando uma reta (r) está contida em um plano (π), então, qualquer ponto da reta (r) é também ponto do plano (π). Se A,B ∈ (r), então, A,B ∈ (π) e o vetor v ^⃗ , vetor diretor da reta (r), é ortogonal ao vetor n ^⃗ , que é normal ao plano (π), ou seja, v ^⃗ . n ^⃗ = 0

Exemplo: Considere a reta

e o plano (π): x + by + cz - 3 = 0

     Os pontos A(2,1,-2) e B(1,2,1) pertencem à reta (r). Como (r) ⊂(π), então, A e B são também pontos de (π). Daí, o sistema:

Portanto, o plano (π) é paralelo ao eixo das cotas (eixo dos z) e é dado por:

(π): x + y - 3 = 0

Onde n ^⃗ = ( 1, 1, 0 ) e v ^⃗ = ( -1, 1, 3 ) e v ^⃗ . n ^⃗ = ( -1, 1, 3 ).( 1, 1, 0 ) = 0

Interseção de Dois Planos:

    Sejam os planos (π₁): x - 2y + 3z - 4 = 0 e (π₂): 2x + 3y - z + 1 = 0, não paralelos, pois n ^⃗ ₁ = ( 1, -2, 3 ) e n ^⃗ ₂ = ( 2, 3, -1 ). A interseção dos planos (π₁) e (π₂), indicada por (π₁) ∩ (π₂), é uma reta cujas equações (paramétricas, simétricas ou reduzidas) são dadas pelo sistema:

Resolvendo o sistema usando o método da Adição, teremos:

Daí, 2x + 3.( (-7x + 1)/7 ) - z + 1 = 0 ⟹ 2x + ( -21x + 3 ) / 7 - z + 1 = 0 ⟹ z = ( 14x - 21x + 3 + 7 ) / 7 ⟹ z = ( -7x + 10 ) / 7

O vetor diretor v ^⃗ da reta (r), neste caso, é simultaneamente ortogonal aos vetores n ^⃗ ₁ e n ^⃗ ₂ Daí, pode-se concluir que v ^⃗ = n ^⃗ ₁ x n ^⃗ ₂, ou seja:

Calculando o determinante, obtemos: v ^⃗ = n ^⃗ ₁ x n ^⃗ ₂ = -7i ^⃗ + 7i ^⃗ + 7k ^⃗ = ( -7, 7, 7 )

Observação: é correto considerar v ^⃗ = ( -1, 1, 1 )

Assim, A( 0, 1/7, 10/7 ) ∈ (r), isto é, A é um ponto da reta (r). As equações paramétricas de

Interseção de Reta com Plano:

    Sejam (r) uma reta e (π) um determinado plano. Se (r) não é paralela ao plano (π), então a interseção entre ambos é um ponto I, ou seja, (r) ∩ (π) = I

    Exemplo: Considere a reta (r) dada pelas suas equações paramétricas, isto é:

e o plano (π): 3x - y + 2z - 4 = 0

    O ponto I( x, y, z ), de interseção entre a reta (r) e o plano (π), é determinado fazendo: ( x, y, z ) = ( -1 + t, 2 - 3t, 3 - t ) e substituindo na equação geral do plano (π), isto é:

3(-1 + t) - ( 2 - 3t ) + 2( 3 - t ) - 4 = 0 ⟹ -3 + 3t - 2 + 3t + 6 - 2t - 4 = 0 ∴ 4t = 3 ∴ t = 3/4