Considere os vetores do R³:

     u ^⃗ = x₁i ^⃗ + y₁j ^⃗ + z₁k ^⃗ e v ^⃗   =   x₂i ^⃗ + y₂j ^⃗ + z₂k ^⃗   ou   u ^⃗ = ( x₁, y₁, z₁ ) e v ^⃗ = ( x₂, y₂, z₂ )

    O produto escalar entre os vetores u ^⃗ e v ^⃗ , indicado por u ^⃗ . v ^⃗ , é definido por:

     u ^⃗ . v ^⃗ = x₁ . x₂ + y₁ . y₂ + z₁ . z₂

    De modo geral, se u ^⃗ = ( x₁, x₂, x₃, ... , x_n ) e v ^⃗ = ( y₁, y₂, y₃, ... , y_n ), u ^⃗ , v ^⃗ ∈ Rⁿ, então u ^⃗ . v ^⃗ = ( x₁ . y₁ + x₂ . y₂ + x₃ . x₃ + ... + x_n . y_n )

    O produto escalar u ^⃗ . v ^⃗ é um número real, é também indicado por < u ^⃗ , v ^⃗ > e se lê: "u ^⃗ escalar v" ^⃗ , ou "produto escalar do vetor u ^⃗ por v ^⃗ ".

Exemplo: Sendo u ^⃗ = ( -3, 4, 1 ) e v ^⃗ = ( 2, -4, 5 ), então:

     u ^⃗ . v ^⃗ = ( -3, 4, 1 ) . ( 2, -4, 5 ) = -3.2 + 4.(-4) + 1.5 = -6 - 16 + 5 = -17

Propriedade do Produto Escalar:

    1) u ^⃗ . v ^⃗ = v ^⃗ . u ^⃗ _(comutativa)

    2) u ^⃗ . ( v ^⃗ + w ^⃗ ) = u ^⃗ . v ^⃗ + u ^⃗ . w ^⃗ _{(distributiva em relação à soma de vetores)}

    3) α( u ^⃗ + v ^⃗ ) = ( αu ^⃗ ) . v ^⃗ = u ^⃗ . ( αu ^⃗ )

    4) u ^⃗ . u ^⃗ ≥ 0 e u ^⃗ . u ^⃗ = 0 se u ^⃗ = 0 ^⃗ = ( 0, 0, 0 )

    5) u ^⃗ . u ^⃗ = | u ^⃗ |²

Prova da propriedade 5:

Seja u ^⃗ = ( x, y, z ). Assim, | u ^⃗ | = √(x² + y² + z²) ⇒ | u ^⃗ |² = x² + y² + z²

Por outro lado, u ^⃗ . u ^⃗ = ( x, y, z ) . ( x, y, z ) = x² + y² + z²

Por tanto: u ^⃗ . u ^⃗ = | u ^⃗ |²

Como aplicação desta última propriedade, tem-se que:

| u ^⃗ - v ^⃗ |² = ( u ^⃗ - v ^⃗ ) . ( u ^⃗ - v ^⃗ ) = u ^⃗ . u ^⃗ - u ^⃗ . v ^⃗ - v ^⃗ . u ^⃗ + v ^⃗ . v ^⃗ ⇒

| u ^⃗ + v ^⃗ |² = | u ^⃗ |² + 2u ^⃗ . v ^⃗ + | v ^⃗ |²

Analogicamente, | u ^⃗ + v ^⃗ |² = ( u ^⃗ + v ^⃗ ) . ( u ^⃗ - v ^⃗ ) = u ^⃗ . u ^⃗ - u ^⃗ . v ^⃗ + v ^⃗ . u ^⃗ - v ^⃗ . v ^⃗ = | u ^⃗ |² - | v ^⃗ |²   e   ( u ^⃗ + v ^⃗ ) . ( u ^⃗ - v ^⃗ ) = u ^⃗ . u ^⃗ - u ^⃗ . v ^⃗ + v ^⃗ . u ^⃗ + v ^⃗ . v ^⃗ = | u ^⃗ |² - | v ^⃗ |²

Significado Geométrico do Produto Escalar:

    Considere os vetores não nulos u ^⃗ = AB ^⃗ e v ^⃗ = AC ^⃗ formando entre eles o ângulo entre eles o ângulo 0, conforme indica a figura ao lado, onde unindo os pontos B e C tem-se o triângulo ABC, sendo CB ^⃗ = u ^⃗ - v ^⃗ .

Aplicando ao triângulo ABC a Lei dos Cossenos, tem-se:

    | u ^⃗ - v ^⃗ |² = | u ^⃗ |² + | v ^⃗ |² - 2| u ^⃗ | | v ^⃗ | cos θ

Como: | u ^⃗ - v ^⃗ |² = | u ^⃗ |² - 2u ^⃗ . v ^⃗ + | v ^⃗ |².

    Assim, | u ^⃗ - v ^⃗ |² = | u ^⃗ |² + | v ^⃗ |² - 2| u ^⃗ | | v ^⃗ | cos θ = | u ^⃗ |² - 2 u ^⃗ . v ^⃗ + | v ^⃗ |², que após as simplificações possíveis, obtêm-se: u ^⃗ . v ^⃗ = | u ^⃗ | | v ^⃗ |cos θ, sendo 0º ≤ θ ≤ 180º.

    Da igualdade u ^⃗ . v ^⃗ = | u ^⃗ | | v ^⃗ |cos θ, conclui-se que: cos θ = u ^⃗ . v ^⃗ / | u ^⃗ | | v ^⃗ |, fórmula esta que permite calcular o valor do ângulo formado por dois vetores não nulos u ^⃗ e v ^⃗ .

Nota: sabendo que u ^⃗ . v ^⃗ = | u ^⃗ | | v ^⃗ |cos θ, estão, quando u ^⃗ e v ^⃗ são ortogonais, θ = 90º, cos θ = cos 90º = 0 e u ^⃗ . v ^⃗ = 0. Portanto, se os vetores u ^⃗ e v ^⃗ são ortogonais, então u ^⃗ . v ^⃗ = 0.

    Sejam v ^⃗ = xi ^⃗ + yj ^⃗ + zk ^⃗ um vetor não nulo localizado na origem O(0, 0, 0) dos eixos cartesianos ortogonais e i ^⃗ = (1, 0, 0), j ^⃗ = (0, 1, 0) e k ^⃗ = (0, 0, 1) os vetores unitários dos eixos 0x, 0y e 0z, respectivamente. Sendo α, β e φ, respectivamente os ângulos formados pelo vetor v ^⃗ com os vetores unitários i ^⃗ , j ^⃗ e k ^⃗ , então α, β e φ são chamados de ângulos diretores e os respectivos cossenos são os cossenos diretores do vetor v ^⃗ .

Exercício: Prove que cos²⁡α + cos²⁡β + cos²⁡φ = 1 ou que v ^⃗ /| v ^⃗ | = (cos⁡α, cos⁡β, cos⁡φ), que é o versor do vetor v ^⃗ .

Projeção de um Vetor Sobre Outro Vetor:

    Considere os vetores não nulos u ^⃗ = v ^⃗ formado entre eles o ângulo θ.

     Decompondo o vetor v ^⃗ em v ^⃗ ₁ e v ^⃗ ₂ de tal modo que v ^⃗ = v ^⃗ ₁ + v ^⃗ ₂, onde v ^⃗ ₁// u ^⃗ e v ^⃗ ₂ ┴ u ^⃗ , tem-se que:

        1) v ⃗ 1 é o vetor projeção ortogonal do vetor v ⃗ sobre o vetor u ⃗ , o que é indicado por v ⃗ 1 = proju ⃗ v ⃗

        2) Sendo v ^⃗ ₁// u ^⃗ , então v ^⃗ ₁ = m.u ^⃗ , m ∈ R

        3) v ^⃗ = v ^⃗ ₁ + v ^⃗ ₂  ⇛   v ^⃗ ₂ = v ^⃗ - v ^⃗ ₁   ∴   v ^⃗ ₂ = v ^⃗ - m.u ^⃗

        4) v ^⃗ ₂ ortogonal a, então u ^⃗ , então u ^⃗ . v ^⃗ = 0 ( u ^⃗ escalar v ^⃗ = 0) ou u ^⃗ . ( v ^⃗ - mu ^⃗ ) = 0 ⇒ u ^⃗ . v ^⃗ - u ^⃗ . mu ^⃗ = 0 ∴ u ^⃗ . v ^⃗ = m(u ^⃗ . u ^⃗ ) ⇒ m = ( u ^⃗ . v ^⃗ ) / ( u ^⃗ . u ^⃗ )

        5) Como v ⃗ 1 = proj u ⃗ v ⃗ e v ⃗ 1 = m u ⃗ , com m = ( u ⃗ . v ⃗ ) / ( u ⃗ . u ⃗ ), então:

            proju ⃗ v ⃗ = ( u ⃗ . v ⃗ / u ⃗ . u ⃗ ) u ⃗      Analogicamente: proju ⃗ v ⃗ = ( u ⃗ . v ⃗ / v ⃗ . v ⃗ ) v ⃗

Aplicação do Produto Escalar à Física:

    O trabalho W realizado por uma força constante F ^⃗ , aplicada a um determinado corpo ao longo de um deslocamento do corpo d ^⃗ = AB ^⃗ , é dado pelo produto da intensidade da força F ^⃗ que provoca o deslocamento do corpo pelo deslocamento | d ^⃗ | = | AB ^⃗ | efetuado. De acordo com a figura, a força F ^⃗ _x e a que provoca o deslocamento d ^⃗ = AB ^⃗ . Mas, | F ^⃗ _x|/| F ^⃗ | = cos⁡θ ∴ | F ^⃗ _x| = | F ^⃗ |cos⁡θ Assim, W = | F ^⃗ _x| | d ^⃗ | = | F ^⃗ |cos⁡θ | d ^⃗ | ⇛ W = | F ^⃗ | | d ^⃗ | cos⁡θ = F ^⃗ . d ^⃗ .

Portanto, W = F ^⃗ . d ^⃗      ( w = F ^⃗ escalar d ^⃗ ).