Definição:
Parábola é o lugar geométrico (ou conjunto) dos pontos do plano situados à mesma distância (eqüidistantes) de um ponto fixo F - chamado foco, e de uma reta fixa (d) - chamada diretriz, pertencentes ao mesmo plano da cônica.
O ponto V, interseção da parábola com o seu eixo de simetria, é denominado de vértice da parábola, e será indicado por V(h, k). Sendo P(x, y) um ponto genérico do gráfico da parábola, F o foco e D o ponto de interseção da perpendicular traçada do ponto P sobre a diretriz (d), tem-se, por definição de parábola, que PF / PD = 1, ou seja, PF = PD
Para a figura 2, indicada acima, V(h, k) é o vértice da parábola, VF = VN , pois, pela definição de parábola, são iguais estas duas distâncias, cujas medidas serão indicadas por |p/2|, p ∈ R*
Assim, VF = VN = |p/2|. Desta forma, F(h - |p/2|, k) é o foco da parábola, N(h + |p/2|, k) é o ponto de interseção do eixo de simetria com a diretriz (d): y = p/2, P(x, y) um ponto qualquer da parábola e D(h + |p/2|, y) é a interseção da diretriz (d) com a perpendicular traçada do ponto P até a diretriz, ou seja, PD é a distância do ponto P à diretriz (d)
Nota: PD indica o segmento de origem P e extremidade D e indica a medida do segmento PD
Equação da Parábola:
Por definição de parábola, PF = PD, logo:
√( x - ( h - |p/2| ) )2 + (y-k)2 = √( x - ( h+ |p/2| ) )2 + ( y - y )2 )
Elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade e fazendo as devidas associações, vem:
[(x - h) + |p/2|]2 + (y - k)2 = [(x - h) - |p/2|]2 + 0
(x - h)2 + 2.|p/2|.(x - h)+ p2/4 + (y - k)2 = (x - h)2 - 2.|p/2|.(x-h)+ p2/4
(y - k)2 = -4.|p/2|.(x - h)
após a simplificação dos termos semelhantes.
Portanto, (y - k)2 = -2|p|.(x - h) Como p ∈ R*, então p < 0 ou p > 0, ou seja,
Desta forma, a equação acima se desdobra em:
De modo geral, ( y - k )2 = 2p.( x - h ) representa a equação de uma parábola de eixo de simetria paralelo ao eixo das abscissas (eixo dos x). O sinal + ou- fica na dependência do sinal de p
Analogamente, conclui-se que para a parábola de eixo de simetria paralelo ao eixo das ordenadas (eixo dos y), a equação reduzida da parábola será ( x - h )2 = 2p.( y - k )
Observação: Se o vértice V(h, k) da parábola é a origem O(0, 0) do sistema cartesiano de coordenadas, então V(0, 0) e as equações reduzidas assumirão as formas: y2 = 2px e x2 = 2py
Desenvolvendo os quadrados perfeitos indicados nas equações reduzidas e efetuando as mudanças necessárias de símbolos, chega-se às equações gerais da parábola:
x = y2 + b.y + c, para a parábola de eixo de simetria paralelo ao eixo dos x
y = x2 + b.x + c, para a parábola de eixo de simetria paralelo ao eixo dos y
Exemplo: Obtenha uma equação e faça o esboço do gráfico da parábola de foco F(2, 1) e cuja diretriz é a reta (d): y + 3 = 0.
Solução: Seja P(x,y) um ponto genérico da parábola. Por definição, PF = PD,onde D(x,-3)
Se PF = PD então,
√(x - 2)2 + (y - 1)2 = √(x - x)2 + (y + 3)2
(x - 2)2 + (y - 1)2 = (x - x)2 + (y + 3)2
(x - 2)2 + (y - 1)2 = 02 + (y + 3)2
(x - 2)2 + y2 - 2y + 1 = y2 + 6y + 9
(x - 2)2 = 8y + 8 = 8.(y + 1)
(x - 2)2 = 8.(y + 1)
Outra Solução: Como o eixo de simetria é paralelo ao eixo dos y, então a equação reduzida a ser utilizada é (x - h)2 = 2p.(y - k)
V(h, k) = V(2, -1) e VF = VN = |p/2| = 1 - (-1) = 2 ⟹ |p|=4, p > 0 ⟹ p = 4 e 2p = 8. Logo,(x - 2)2 = 8(y + 1)
Resumo: com eixo de simetria paralelo a um dos eixos coordenados, têm-se as seguintes configurações de gráficos de parábolas:
Observação: quando o vetor VF, que liga o vértice V ao foco F, tem o mesmo sentido do eixo coordenado paralelo, então p > 0, caso contrário, p < 0