Definição:
Elipse é o lugar geométrico (conjunto) dos pontos do plano cuja soma das distâncias de cada ponto a dois pontos fixos (denominados focos) do mesmo plano da cônica é constante e igual ao número real 2a
Considere uma elipse de eixo de simetria paralelo a um dos eixos coordenados, no caso, paralelo ao eixo das abscissas (eixo dos x).
Equação da Elípse:
Seja C(h, k) o centro da elipse, tomado sobre o eixo de simetria. Ainda sobre o eixo de simetria, considere os pontos A1 e A2 de modo que os segmentos A1C e CA2 sejam congruentes e tenham medidas iguais ao número 2a, ou seja, A1C = CA2 = a.
Desta forma, A1A2 = 2a e é denominado de eixo maior da elipse. Os pontos A1(h - a, k) e A2(h + a, k) são chamados de vértices da elipse. OBSERVAÇÃO: A1A2 indica o segmento de origem A1 e extremidade A2
A1A2 indica a medida do segmento A
Perpendicularmente ao eixo maior da elipse e passando pelo centro C(h, k), considere o segmento B1B2 de tal forma que a sua medida seja igual ao número real 2b, com b < a, isto é, B1B2 = 2b e, portanto, B1C = CB2 = b. B1B2 = 2b, que é a medida do segmento B1B2, é denominada de eixo menor da elipse, sendo que, neste caso, B1(h, k - b) e B2 (h, k + b)
Ainda sobre o eixo de simetria, tomam-se os pontos F1 e F2, tais que as distâncias B1F1 e B2F2 sejam iguais à medida do A1C = CA2 = a, ou seja, B1F1 = B1F2 = B2F1 = B2F2 = a
As medidas dos segmentos F1C e CF2 são iguais e indicadas pelo número real c, isto é, F1C = CF2 = c. Desta forma, F1F2 = 2c é a distância focal e F1(h - c, k) e F1(h + c, k) são os focos da elipse.
Observando a figura 5, conclui-se que o triângulo F1CB2 é isósceles e o triângulo F1CB2 (ou CB2F2) é retângulo e, através do Teorema de Pitágoras, a2 = b2 + c2 (RELAÇÃO FUNDAMENTAL).
Sendo P(x, y) um ponto genérico da elipse, através da definição de elipse, tem-se que:
PF1 + PF2 = 2a.
Substituindo as coordenadas dos pontos e desenvolvendo a equação, tem-se:
√[x - (h - c)]2 + (y - k)2 + √[x - (h + c)]2 + (y - k)2 = 2a
Passando para o segundo membro uma das raízes do primeiro membro,temos:
√[(x - h) + c]2 + (y - k)2 = 2a - √[(x - h) - c]2 + (y - k)2
Elevando ao quadrado os dois lados da igualdade, tem-se:
[(x - h) + c)]2 + (y - k)2 = 4a2 - 4a.√[(x - h) - c]2 + (y - k)2 + [(x - h) - c]2 + (y - k)2
Simplificando os termos semelhantes e iguais, vem:
(x - h)2 + 2c.(x - h) + c2 = 4a2 - 4a.√[(x - h) - c]2 + (y - k)2 + (x - h)2 - 2c.(x - h) + c2
4a.√[(x - h) - c]2 + (y - k)2 = 4a2 - 4c.(x - h)
Dividindo ambos os membros por 4, vem:
a.√[(x - h) - c]2 + (y - k)2 = a2 - c.(x - h)
Elevando novamente ao quadrado os dois membros da igualdade, vem:
a2.{[(x - h) - c]2 + (y - k)2} = a4 - 2a2 c(x - h) + c2 (x - h)2
a2.{(x - h)2 - 2c(x - h) + c2} = a4 - 2a2 c(x - h) + c2 (x - h)2
a2.(x - h)2 - 2a2 c(x - h) + a2 c2 = a4 - 2a2 c(x - h) + c2 (x - h)2
Simplificando, agrupando os termos semelhantes e fatorando, vem:
(a2 - c2).(x - h)2 + a2.(y - k)2 = a2.(a2 - c2)
Da RELAÇÃO FUNDAMENTAL a2 = b2 + c2, tem-se que b2 = a2 - c2 Assim, substituindo na equação anterior, obtem-se:
b2.(x - h)2 + a2.(y - k)2 = a2.b2
Dividindo os dois lados por a2.b2, vem: (x - h)2/a2 + (y - k)2/b2 = 1 (a>b)
Esta é a equação reduzida da elipse de eixo maior paralelo ao eixo das abscissas (eixo dos x).
Analogamente, se a elipse possui o eixo maior paralelo ao eixo das ordenadas (eixo dos y), então a sua equação reduzida será da forma:
(x - h)2/b2 + (y - k)2/a2 = 1 (a>b)
A razão entre c e a é denominada de excentricidade da elipse e é indicada por e, ou seja, c/a = e
OBSERVAÇÃO:
O maior denominador, o a2, indica a posição do eixo maior da elipse Assim, se o maior denominar, o a2, é denominador de (x - h)2 Então a elipse tem eixo maior paralelo ao eixo dos x (abscissas) Se a2 é denominador de (y - k)2, então a elipse tem o eixo maior paralelo ao eixo dos y (ordenadas)
Exemplo: Obtenha uma equação e faça o esboço do gráfico da elipse de centro C(2, -1), um vértice em A(2, 5) e excentricidade igual a 2/3
SOLUÇÃO: C(h, k) = C(2, -1) e A(2, 5) = A2(2, 5)
CA1 = CA2 = 5 — 1 = 6 = a
Assim,
A1(2, -7), F1 (2, -5), F2 (2, 3), B1 (2 - 2√5, -1) e B2 (2 + 2√5, -1).
excentricidade: e = c/a = 2/3 ∴ c/6 = 2/3 ⟹ c = 4
a2 = b2 + c2 ⟹ b2 = a2 - c2 ⟹ b2 = 62 - 42 = 36 - 16 = 2 0
Equação da Elipse:
(x-h)2/b2 + (y-k)2/a2 = 1 ⟹ (x-h)2/20 + (y-k)2/36 = 1