Definição:
Hipérbole é o lugar geométrico (conjunto) dos pontos do plano cuja diferença das distâncias de cada ponto a dois pontos fixos, denominados focos, pertencentes ao mesmo plano da hipérbole, é constante e igual ao número real |2a|
Considere uma hipérbole de eixo de simetria paralelo ao eixo das ordenadas (eixo dos y)
Seja o ponto C(h, k), tomado sobre o eixo de simetria, o centro da hipérbole. Ainda, sobre o eixo de simetria, considere os pontos A1, abaixo do centro C, e A2, acima de C, tais que sejam iguais as medidas de suas distâncias ao centro C da hipérbole, distâncias estas indicadas pelo número real a.
Assim, A1C = CA2 = a.
Desta forma, a medida do segmento A1A2 é igual ao número real 2a, isto é, A1A2 = 2a.
E é denominado de eixo transverso ou eixo real da hipérbole Os pontos A1(h, k - a) e A2(h, k + a) são chamados de vértices da hipérbole.
Perpendicularmente ao eixo transverso e passando pelo centro C(h, k), considere o segmento B1B2 cuja medida seja igual ao número real 2b, ou seja, B1B2 = 2b.
Portanto, B1C = CB1 = b
A medida do segmento B1B2 é denominada de eixo conjugado ou eixo imaginário da hipérbole.
Portanto, B1B2 = 2b = 2b é o eixo conjugado ou eixo imaginário da hipérbole.
Neste caso, B1(h - b, k) e B2(h + b, k)
Quando são iguais os eixos transverso e conjugado, isto é, se 2a = 2b ou a = b, então a hipérbole recebe o nome de hipérbole eqüilátera.
Pelos vértices A1 e A2 trace os segmentos DE e HG paralelos ao eixo conjugado B1B2 e de comprimentos iguais a B1B2 = 2b e obtenha o retângulo DEGH. Traçando as diagonais DH e EG obtem-se as duas retas passando pelo centro C(h, k) da hipérbole. Estas duas retas são chamadas de assíntotas da hipérbole e possuem, neste caso, coeficientes angulares iguais a a/b, uma delas (a reta crescente), e -a/b, a outra (a reta decrescente).
Desta forma, as retas assíntotas da hipérbole com eixo transverso paralelo ao eixo das ordenadas (eixo dos y), que é o caso em estudo, têm equações:
De forma geral, as assíntotas têm equações: y - k = ± a/b.(x – h)
Nota:
O gráfico da hipérbole é facilmente obtido utilizando as retas assíntotas, uma vez que o gráfico tende para estas retas.
Focos da Hipérbole
Sobre o eixo de simetria e a partir do centro C(h, k), marcam-se os pontos F1, abaixo de C, e F2, acima do centro C, tais que F1C = CF2 = CD = CE = c (com c > a).
Assim, F1(h, k - c) e F2(h, k + c)
O triângulo CA1E (ou CA2G) é retângulo e, portanto, c2 = a2 + b2 (RELAÇÃO FUNDAMENTAL). A razão c/a é a excentricidade da hipérbole, ou seja, c/a = e (e = excentricidade, e > 1).
Equações da Hipérbole
Seja P(x,y) um ponto genérico da hipérbole.
Pela definição de hipérbole, tem-se que: PF1 - PF2 = |2a|. Logo,
√(x - h)2 + [y - (k - c)]2 - √(x - h)2 + [y - (k + c)]2 = |2a|
√(x - h)2 + [y - (k - c)]2 = |2a| + √(x - h)2 + [y - (k + c)]2
Elevando ao quadrado os dois membros da igualdade, vem:
(x - h)2 + [(y - k) + c)]2 = 4a2 + 4.|a|.√(x - h)2+[(y - k) - c)]2 + (x - h)2 + [(y - k) - c)]2
Simplificando e desenvolvendo as potências indicadas, tem-se:
(y - k)2 + 2c(y - k) + c2 = 4a2 + 4|a|√(x - h)2 + [(y - k) - c)]2 + (y - k)2 - 2c(y - k) + c2
Simplificando e agrupando convenientemente os termos da igualdade, vem:
4c(y - k) - 4a2 = 4|a|√(x - h)2 + [(y - k) - c)]2
Dividindo por 4, tem-se:
c(y - k) - a2 = |a| √(x - h)2 + [(y - k) - c)]2
Elevando novamente ao quadrado ambos os membros da igualdade e lembrando que |a|2 = |a2| = a2, vem:
c2 (y - k)2 - 2ca2 (y - k) + a4 = a2 {(x - h)2 + [(y - k) - c)]2}
c2 (y - k)2 - 2ca2 (y - k) + a4 = a2 {(x - h)2 +(y - k)2 - 2c(y - k) + c2}
c2 (y - k)2 - 2ca2 (y - k) + a4 = a2 (x - h)2 + a2 (y - k)2 - 2ca2 (y - k) + a2 c2
Simplificando, agrupando e fatorando os termos semelhantes, tem-se:
(c2 - a2) . (y - k)2 - a2.(x - h)2 = a2.(c2 - a2)
Mas, da relação fundamental c2 = a2 + b2, tem-se que c2 - a2 = b2
Substituindo na equação acima, tem-se que:
b2.(y - k)2 - a2.(x - h)2 = a2.b2
Dividindo a igualdade por a2.b2, obtém-se:
(y - k)2/a2 - (x - h)2/b2 = 1
(Equação Reduzida da hipérbole de eixo transverso ou real paralelo ao eixo das ordenadas (eixo dos y)).
Analogamente, se a hipérbole tem o eixo transverso ou real paralelo ao eixo das abscissas (eixo dos x), a sua equação reduzida será da forma:
(x - h)2/a2 - (y - k)2/b2 = 1
Para esta última modalidade de hipérbole, com eixo transverso paralelo ao eixo dos x, as retas assíntotas correspondentes terão equações da forma:
y - k = ± b/a.(x – h)
Exemplo:
Obtenha uma equação e faça o esboço do gráfico da hipérbole de focos F1(-6,2) e F2(4,2) e que seja eqüilátera.
Solução:
C(h, k) = C(-1, 2), pois h = (-6 + 4)/2 e k = 2
F1C = CF2 = c = 5 ∴ c = 5
Sendo a hipérbole eqüilátera, então a = b.
Como c2 = a2 + b2, então c2 = a2 + a2 = 2a2 = 2b2
Assim, 52 = 2a2 = 2b2 ⟹ a2 = b2 = 25/2 ⟹ a = b = (5.√2)/2
Equação da Hipérbole:
(x - h)2/a2 - (y - k)2/b2 = 1 ⟹ (x + 1)2/25 - (y - 2)2/25 = 1
As retas assíntotas terão equações da forma y - k = ± b/a.(x – h)
Logo, y - 2 = ± 1.(x + 1) ⟹ y – 2 = x + 1 ou y – 2 = -x – 1 ⟹
