Parábola
Considere a equação da parábola de eixo de simetria paralelo ao eixo das abscissas (eixo dos x): (y - k)2 = 2p.(x - h)
Nesta equação, onde (y – k) assume qualquer valor real, fazendo (y - k)2 = t2 (t é um parâmetro)
Tem-se: y - k = t ⟹ y = k + t e t2 = 2p(x - h) ⟹ t2/2p = x - h ⟹ x = h + t2/2p
Assim, x = h + t2/2p, y = k + t são as equações paramétricas da parábola de eixo de simetria paralelo ao eixo dos x.
Quando a parábola tem o eixo de simetria paralelo ao eixo das ordenadas (eixo dos y), sua equação reduzida é da forma: (x - h)2 = 2p.(y - k)
Nesta equação, (x – h) assume qualquer valor real, logo, fazendo (x - h)2 = t2
Tem-se: x – h = t ∴ x = h + t e t2 = 2p(y - k) ⟹ t2/2p = y - k ⟹ y = k + t2/2p
Assim, x = h + t, y = k + t2/2p são as equações paramétricas da parábola de eixo de simetria paralelo ao eixo dos y.
Elípse
Considere a equação da elipse de eixo maior paralelo ao eixo das abscissas (eixo dos x):
(x - h)2/a2 + (y - k)2/b2 = 1(a > b)
Compare esta equação com a relação fundamental da trigonometria cos2 θ + sen2 θ = 1
Portanto, fazendo (x - h)2/a2 = cos2 θ e (y - k)2/b2 = sen2 θ, onde θ é o parâmetro, tem-se que:
(x - h)/a = cosθ e (y - k)/b = senθ ⟹ x = h + a.cosθ
e, y = k + senθ ⟹ x = h + a.cosθ, y = k + b.senθ
Estas são as equações paramétricas da elipse de eixo maior paralelo ao eixo dos x.
Quando a elipse possui o seu eixo maior paralelo ao eixo das ordenadas (eixo dos y), a sua equação reduzida é da forma: (x - h)2/b2 + (y - k)2/a2 = 1(a > b). Compare esta equação também com a relação fundamental da trigonometria cos2 θ + sen2 θ = 1
Fazendo (x - h)2/b2 = cos2 θ e (y - k)2/a2 = sen2 θ, onde θ é o parâmetro, tem-se que:
(x - h)/b = cosθ e (y - k)/a = senθ ⟹
x = h + b.cosθ e y = k + a.senθ ⟹ x = h + b.cosθ, y = k + a.senθ
Estas são as equações paramétricas da elipse de eixo maior paralelo ao eixo dos y.
Hipérbole
Considere a equação reduzida da hipérbole de eixo transverso ou eixo real paralelo ao eixo das abscissas (eixo dos x): (x - h)2/a2 - (y - k)2/b2 = 1
Compare esta equação com a relação trigonométrica sec2 θ - tg2 θ = 1
Fazendo (x - h)2/a2 = sec2 θ e (y - k)2/b2 = tg2 θ , onde θ é o parâmetro, tem-se que:
(x - h)/a = secθ e (y - k)/b = tgθ ⟹ x = h + a secθ e y = k + b.tgθ ⟹ x = h + a secθ, y = k + b.tgθ
Estas são as equações paramétricas da hipérbole de eixo transverso ou real paralelo ao eixo dos x.
Quando a hipérbole possui o eixo transverso ou eixo real paralelo ao eixo das ordenadas (eixo dos y), a sua equação reduzida é da forma: (y - k)2/a2 - (x - h)2/b2 = 1.
Compare, ainda, esta equação com a relação trigonométrica sec2 θ - tg2 θ = 1.
Seja (y - k)2/a2 = sec2 θ e (x - h)2/b2 = tg
(y - k)/a = secθ e (x - h)/b = tgθ ⟹ y = k + a.secθ e x = h + b.tgθ
Assim, x = h + b.tgθ, y = k + a.secθ
Estas são as equações paramétricas da hipérbole de eixo transverso ou real paralelo ao eixo dos y.